{"cards":[{"_id":"3bfb4f14f02cdea755000045","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":null,"content":"#Analysis"},{"_id":"3bfb5edcf02cdea75500004c","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":0.5,"parentId":"3bfb4f14f02cdea755000045","content":"## spezielle Funktionsklassen "},{"_id":"3bfb8178f02cdea755000056","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfb5edcf02cdea75500004c","content":"### Ganzrationale Funktionen"},{"_id":"3c11d0e33db7e8e154000057","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfb8178f02cdea755000056","content":"### **Polynome**"},{"_id":"3c11d17d3db7e8e154000058","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3c11d0e33db7e8e154000057","content":"### **Horner Schema**"},{"_id":"3bfb8247f02cdea755000057","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":2,"parentId":"3bfb5edcf02cdea75500004c","content":"### Gebrochenrationale Funktionen"},{"_id":"3c11d35a3db7e8e154000059","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfb8247f02cdea755000057","content":"### **Gebrochenrationale Funktionen**"},{"_id":"3c11d4233db7e8e15400005a","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3c11d35a3db7e8e154000059","content":"### **Nullstellen Berechnung/ Definitionslücken**"},{"_id":"3bfb856bf02cdea755000059","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":4,"parentId":"3bfb5edcf02cdea75500004c","content":"### Exponentialfunktionen\n### Logarithmusfunktionen"},{"_id":"3c07db4c81fb844070000036","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":0.25,"parentId":"3bfb856bf02cdea755000059","content":"### **Exponentialfunktion**\n\n\n\n> #### **Definition**\n\n> #### **Eigenschaften**\n\n\n> - Exponentialfunktionen besitzten weder Nullstellen, noch Extremwerte\n> - y-Achsenabschnitt bei (0/1), da f(0) = a^0 = 1\n> - Kurven von a^x und a^-x gehen durch `Spiegelung an der y-Achse` ineinander über\n> - Exponentialfunktion ≠ Potenzfunktion\n\n>> #### Spezielle Exponentialfunktionen\n>>\n\n> - #### ` Jede Exponentialfunktion ist in der e-Funktion darstellbar!`\n\n\n---\n\n### **Anwendungsbezogene Exponentialfunktionen**\n\n1. Abklingfunktion\n2. Sättungsfunktion\n3. Wachstumsfunktion\n4. Gedämpfte Schwingung\n5. Gauß-Funktionen"},{"_id":"3c0881ee5e015c1086000090","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3c07db4c81fb844070000036","content":"### **Logarithmusfunktion**\n\n\n\n> #### **Definition**\n\n\n> #### **Eigenschaften**\n\n\n> - Logarithmen sind nur für eine positive Basis a mit a≠1 definiert; Ihre Berechnung erfolgt mithilfe der Potenzreihenentwicklung\n> - Logarithmen besitzen `unabhängig` von der Basis a genau eine Nullstelle bei x_0 = 1, da log_a (1) = 0. `Alle` Kurven gehen somit an dieser Stelle durch die x-Achse\n> - Den Funktionsgraph einer Logarithmusfunktion erhält man durch Spiegelung der entsprechenden Exponentialfunktion an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten (45° Achse)\n\n>\n\n\n>> #### Spezielle Logarithmen\n"},{"_id":"3c0931d23fd8e289de000032","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1.5,"parentId":"3c0881ee5e015c1086000090","content":"### **Rechenregeln für Potenzen**\n"},{"_id":"3c0930a63fd8e289de000031","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":2,"parentId":"3c0881ee5e015c1086000090","content":"### **Rechenregeln für Logarithmen**\n\n\n\n#### **Basiswechsel**\n"},{"_id":"3c10e2123db7e8e154000031","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":3,"parentId":"3c0881ee5e015c1086000090","content":"### **Eponential- und Logarithmusgleichungen**\n\n1. Exponentenvergleich\n2. Substitution/ Rücksubstitution\n3. Elementare Termumforumg \n4. Logarithmierung\n4. Entlogarithmierung: \ne-Funktion hebelt man mit ln(x); ln(x) mit der e-Funktion aus \n\n> 1. `e^x hat keine Nullstellen (wird also nie null) -> man kann immer durch e^x teilen`\n> 2. `Der Logarithmus ist nur dann eine Äquivalenzumformung, wenn der Term positiv ist`"},{"_id":"3c0a7e643fd8e289de000034","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":2,"parentId":"3bfb856bf02cdea755000059","content":"### **Natürliche Exponentialfunktion**\n\n> Die naturliche Exponentialfunktion, ist die einzige Funktion, die als Funktionswert ihre `Steigung` liefert\n\n\n\n\n\n"},{"_id":"3c0a802c3fd8e289de000036","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3c0a7e643fd8e289de000034","content":"### **Logarithmus naturalis**\n\n\n\n\n\n"},{"_id":"3c7343d610e75b4ab000007d","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":3,"parentId":"3bfb856bf02cdea755000059","content":"### **Wachstums- und Zerfallsprozesse**\n\n> * p: Prozentsatz (in Dezimalzahl)\n> * 1+p: Wachstum / 1-p: Zerfall\n> * q = (1 +- p) = `Wachstumsfaktor`\n> * N(0): Anzahl zur Zeitpunkt Null; ursprüngliche Menge\n> * N(t): Anzahl zur Zeitpunkt t"},{"_id":"3bfb88a7f02cdea75500005a","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":5,"parentId":"3bfb5edcf02cdea75500004c","content":"### Trigonometrische Funktionen \n### Arkusfunktionen"},{"_id":"3c11ccb23db7e8e154000053","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfb88a7f02cdea75500005a","content":"### **Trigonometrische Funktionen**"},{"_id":"3c11cd163db7e8e154000054","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3c11ccb23db7e8e154000053","content":"### **Arkusfunktionen**"},{"_id":"3bfb8d23f02cdea75500005c","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":6,"parentId":"3bfb5edcf02cdea75500004c","content":"### Potenzfunktionen\n### Wurzelfunktionen"},{"_id":"3c11cefd3db7e8e154000055","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfb8d23f02cdea75500005c","content":"### **Potenzfunktionen**"},{"_id":"3c11cf4b3db7e8e154000056","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3c11cefd3db7e8e154000055","content":"### **Wurzelfunktionen**"},{"_id":"3c73243110e75b4ab0000035","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfb4f14f02cdea755000045","content":""},{"_id":"3bfbcdcbf02cdea755000065","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1.5,"parentId":"3bfb4f14f02cdea755000045","content":"## Hintergründe zur Differenzial- und Integralrechnung"},{"_id":"3c112cb13db7e8e15400004c","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfbcdcbf02cdea755000065","content":"### Stetigkeit und Differenzierbarkeit"},{"_id":"3c11d5fd3db7e8e15400005b","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3c112cb13db7e8e15400004c","content":"### **Das bestimmte Integral**"},{"_id":"3c11d6923db7e8e15400005c","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":2,"parentId":"3c112cb13db7e8e15400004c","content":"### **Uneigentliche Integrale**"},{"_id":"3c112db53db7e8e15400004d","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":2,"parentId":"3bfbcdcbf02cdea755000065","content":"### Newton Verfahren"},{"_id":"3bfbc98af02cdea755000062","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":3.75,"parentId":"3bfb4f14f02cdea755000045","content":"## Ableitungs- und Integrationsregeln"},{"_id":"3bfc8ca84391f3449e000028","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfbc98af02cdea755000062","content":"### **Ableitungen mit einem konstanten Faktor**\n\n$f(x) = a \\cdot g(x) \\rightarrow f'(x) = a \\cdot g'(x) $"},{"_id":"3c11194a3db7e8e154000049","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfc8ca84391f3449e000028","content":"### **Integral mit einem konstanten Faktor**\n$ \\int k \\cdot f(x) \\rightarrow k\\cdot \\int f(x)$"},{"_id":"3bfc88ea4391f3449e000024","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1.5,"parentId":"3bfbc98af02cdea755000062","content":"### **Ableitung von Summen/ Differenzen**\n$ f(x) = g(x) \\pm h(x) \\rightarrow f'(x) = g'(x) \\pm h'(x)$"},{"_id":"3f5fc9aacee496e19500003a","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfc88ea4391f3449e000024","content":"### **Integration von Summen/ Differenzen**\n"},{"_id":"3bfc88604391f3449e000023","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1.75,"parentId":"3bfbc98af02cdea755000062","content":"### **Potenzregel für Ableitungen**\n$f(x) a \\cdot x^n \\rightarrow f'(x) a\\cdot n \\cdot x^{n-1} $"},{"_id":"3c1115143db7e8e154000046","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfc88604391f3449e000023","content":"### **Potenzregel für Stammfunktionen**\n"},{"_id":"3bfc89a54391f3449e000025","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1.9375,"parentId":"3bfbc98af02cdea755000062","content":"### **Kettenregel für Ableitungen**\n$f(x) = g(h(x)) \\rightarrow f'(x) = h'(x) \\cdot g'(h(x)) $\n\n> #### Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion\n$f(x) = a^x (a>0) \\rightarrow f'(x) = ln(a) \\cdot a^x$\n\n>#### Ableitung der e-Funktion\n$ f(x) = e^{g(x)} \\rightarrow f'(x) = g'(x) \\cdot e^x$\n\n> #### Ableitung der ln-Funktion\n$ f(x) = ln(g(x)) \\rightarrow f'(x) = \\frac{g'(x)}{g(x)}$\n> #### Ableitung der Sinus- und Cosinusfunktion\n"},{"_id":"3c1116e43db7e8e154000047","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfc89a54391f3449e000025","content":"### **Kettenregel für Stammfunktionen**\n\n> #### Integral der e-Funktion\n\n> #### Integral der ln-Funktion\n>>\n\n>> \n\n> #### Integral der Sinus- und Cosinus Funktion\n\n>> `Gilt nur für lineare Funktionen`"},{"_id":"3bfc8a4a4391f3449e000026","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1.96875,"parentId":"3bfbc98af02cdea755000062","content":"### **Produktregel**\n$f(x) = g(x) \\cdot h(x) \\rightarrow f'(x) = g(x)h'(x) + g'(x)h(x)$"},{"_id":"3c1117b23db7e8e154000048","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfc8a4a4391f3449e000026","content":"### **Partielle Integration**\n(Produktregel für Stammfunktionen)\n\n\n\n`Bei mehrmaliger Partieller Integration Klammern setzen`"},{"_id":"3bfc8b754391f3449e000027","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1.984375,"parentId":"3bfbc98af02cdea755000062","content":"### **Quotientenregel**\n\n$f(x) = \\frac{g(x)}{h(x)} \\rightarrow f'(x) = \\frac{g'(x)h(x) - h'(x)g(x)}{[h(x)]^2}$"},{"_id":"3c1125bf3db7e8e15400004b","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfc8b754391f3449e000027","content":"### **Integration durch Substitution**"},{"_id":"3bfbbf1ff02cdea755000060","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":5,"parentId":"3bfb4f14f02cdea755000045","content":"## Anwendung der Differential- und Integralrechnung"},{"_id":"3bfb5d5ef02cdea75500004a","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfbbf1ff02cdea755000060","content":"## Kurvendiskussion\n\n> ### **Definitionsmenge/ Wertemenge**\n\n> ### **Monotonieverhalten**\n\n> ### **Stetigkeit/ Unstetigkeit**\n\n> ### **Grenzverhalten (im Unendlichen)**\n\n\n> ### ** Symmetrie**\n\n>> * ### Achsensymmetrie zur y-Achse\n\n\n>> * ### Punktsymmetrie zum Ursprung\n\n\n>>> ### Verschiebung von Funktionen\nSoll die Symmmetrie zu einer anderen Gerade als zur y-Achse, oder einem anderen Punkt als dem Ursprung gezeigt werden, verschiebt man die Funktion zurück auf die x-Achse/ Ursprung\n\n>>> \n\n>### **Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen**\n\n>### **Lokale und globale Extrema**\n\n>### **Krümmungsverhalten**\n>> Berechnung der Wendepunkte; Wendetangente"},{"_id":"3c1141fa3db7e8e15400004e","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfb5d5ef02cdea75500004a","content":"## Flächen und Volumina\n\n### **Flächen**\nBerechnung erfolgt mithilfe des bestimmten Integrals\n + `Die Funktion darf in diesem Intervall keine Nullstellen besitzen`\n + `Negative Flächen beachten!`\n\n\n> #### **Fläche zwischen zwei Funktionen**\n`Schnittpunkte beachten`\n\n\n> ###"},{"_id":"3c1144563db7e8e154000050","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":2,"parentId":"3bfbbf1ff02cdea755000060","content":"## Rekonstruktionen"},{"_id":"3c1144df3db7e8e154000051","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3c1144563db7e8e154000050","content":"## Extremwertaufgaben"},{"_id":"3bfb5837f02cdea755000046","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":2,"parentId":null,"content":"#Analytische Geometrie & Lineare Algebra"},{"_id":"3bfb5900f02cdea755000047","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":3,"parentId":null,"content":"#Stochastik"},{"_id":"3c983411f7587f262f000037","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfb5900f02cdea755000047","content":"# Kombinatorik\n`Sind die Elemente \"angeordnet\"?`\n`Dürfen einzelne Elemente wiederholt werden?`\n\n\n\n>n = Anzahl der Elemente die Angeordnet werden\n>k = Anzahl der Durchgänge (\"Ziehungen\")\n>p = Anzahl der unterschiedlichen Elemente"},{"_id":"3c983a21f7587f262f000039","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3c983411f7587f262f000037","content":"## **k-Variation** `bei Anordnungen`\n\n>+ mit Wiederholung\n \n>+ ohne Wiederholung\n "},{"_id":"3c983e19f7587f262f00003a","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":2,"parentId":"3c983411f7587f262f000037","content":"## **n-Permutation** `bei Anordnungen`\n\n> + mit Wiederholung & `n > p`\n \n> + ohne Wiederholung & `n = k`\n "},{"_id":"3c983e94f7587f262f00003b","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":3,"parentId":"3c983411f7587f262f000037","content":"## **k-Kombination** `bei Mengen`\n\n+ mit Wiederholung \n \n\n+ ohne Wiederholung & `0 ≤ k ≤ n`\n "}],"tree":{"_id":"3bfb4ef4f02cdea755000043","name":"Mathematik","publicUrl":"mathematik","latex":true}}