• spezielle Funktionsklassen

  • Hintergründe zur Differenzial- und Integralrechnung

  • Ableitungs- und Integrationsregeln

  • Anwendung der Differential- und Integralrechnung

  • Kombinatorik

    Sind die Elemente "angeordnet"?
    Dürfen einzelne Elemente wiederholt werden?

    n = Anzahl der Elemente die Angeordnet werden
    k = Anzahl der Durchgänge (“Ziehungen”)
    p = Anzahl der unterschiedlichen Elemente

  • Ganzrationale Funktionen

  • Gebrochenrationale Funktionen

  • Exponentialfunktionen

    Logarithmusfunktionen

  • Trigonometrische Funktionen

    Arkusfunktionen

  • Potenzfunktionen

    Wurzelfunktionen

  • Stetigkeit und Differenzierbarkeit

  • Newton Verfahren

  • Ableitungen mit einem konstanten Faktor

  • Ableitung von Summen/ Differenzen

  • Potenzregel für Ableitungen

  • Kettenregel für Ableitungen

    Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion

    Ableitung der e-Funktion

    Ableitung der ln-Funktion

    Ableitung der Sinus- und Cosinusfunktion

  • Produktregel

  • Quotientenregel

  • Kurvendiskussion

    Definitionsmenge/ Wertemenge

    Monotonieverhalten

    Stetigkeit/ Unstetigkeit

    Grenzverhalten (im Unendlichen)

    Symmetrie

    • Achsensymmetrie zur y-Achse

    • Punktsymmetrie zum Ursprung

    Verschiebung von Funktionen

    Soll die Symmmetrie zu einer anderen Gerade als zur y-Achse, oder einem anderen Punkt als dem Ursprung gezeigt werden, verschiebt man die Funktion zurück auf die x-Achse/ Ursprung

    Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

    Lokale und globale Extrema

    Krümmungsverhalten

    Berechnung der Wendepunkte; Wendetangente

  • Rekonstruktionen

  • k-Variation bei Anordnungen

    • mit Wiederholung
    • ohne Wiederholung
  • n-Permutation bei Anordnungen

    • mit Wiederholung & n > p
    • ohne Wiederholung & n = k
  • k-Kombination bei Mengen

    • mit Wiederholung

    • ohne Wiederholung & 0 ≤ k ≤ n

  • Polynome

  • Gebrochenrationale Funktionen

  • Exponentialfunktion

    Definition

    Eigenschaften

    • Exponentialfunktionen besitzten weder Nullstellen, noch Extremwerte
    • y-Achsenabschnitt bei (0/1), da f(0) = a^0 = 1
    • Kurven von a^x und a^-x gehen durch Spiegelung an der y-Achse ineinander über
    • Exponentialfunktion ≠ Potenzfunktion

    Spezielle Exponentialfunktionen

    • Jede Exponentialfunktion ist in der e-Funktion darstellbar!


    Anwendungsbezogene Exponentialfunktionen

    1. Abklingfunktion
    2. Sättungsfunktion
    3. Wachstumsfunktion
    4. Gedämpfte Schwingung
    5. Gauß-Funktionen
  • Natürliche Exponentialfunktion

    Die naturliche Exponentialfunktion, ist die einzige Funktion, die als Funktionswert ihre Steigung liefert

  • Wachstums- und Zerfallsprozesse

    • p: Prozentsatz (in Dezimalzahl)
    • 1+p: Wachstum / 1-p: Zerfall
    • q = (1 +- p) = Wachstumsfaktor
    • N(0): Anzahl zur Zeitpunkt Null; ursprüngliche Menge
    • N(t): Anzahl zur Zeitpunkt t
  • Trigonometrische Funktionen

  • Potenzfunktionen

  • Das bestimmte Integral

  • Uneigentliche Integrale

  • Integral mit einem konstanten Faktor

  • Integration von Summen/ Differenzen

  • Potenzregel für Stammfunktionen

  • Kettenregel für Stammfunktionen

    Integral der e-Funktion

    Integral der ln-Funktion

    Integral der Sinus- und Cosinus Funktion

    Gilt nur für lineare Funktionen

  • Partielle Integration

    (Produktregel für Stammfunktionen)

    Bei mehrmaliger Partieller Integration Klammern setzen

  • Integration durch Substitution

  • Flächen und Volumina

    Flächen

    Berechnung erfolgt mithilfe des bestimmten Integrals

    • Die Funktion darf in diesem Intervall keine Nullstellen besitzen
    • Negative Flächen beachten!

    Fläche zwischen zwei Funktionen

    Schnittpunkte beachten

    #

  • Extremwertaufgaben

  • Horner Schema

  • Nullstellen Berechnung/ Definitionslücken

  • Logarithmusfunktion

    Definition

    Eigenschaften

    • Logarithmen sind nur für eine positive Basis a mit a≠1 definiert; Ihre Berechnung erfolgt mithilfe der Potenzreihenentwicklung
    • Logarithmen besitzen unabhängig von der Basis a genau eine Nullstelle bei x_0 = 1, da log_a (1) = 0. Alle Kurven gehen somit an dieser Stelle durch die x-Achse
    • Den Funktionsgraph einer Logarithmusfunktion erhält man durch Spiegelung der entsprechenden Exponentialfunktion an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten (45° Achse)

    Spezielle Logarithmen

  • Logarithmus naturalis

  • Arkusfunktionen

  • Wurzelfunktionen

  • Rechenregeln für Potenzen

  • Rechenregeln für Logarithmen

    Basiswechsel

  • Eponential- und Logarithmusgleichungen

    1. Exponentenvergleich
    2. Substitution/ Rücksubstitution
    3. Elementare Termumforumg
    4. Logarithmierung
    5. Entlogarithmierung:
      e-Funktion hebelt man mit ln(x); ln(x) mit der e-Funktion aus
      1. e^x hat keine Nullstellen (wird also nie null) -> man kann immer durch e^x teilen
      2. Der Logarithmus ist nur dann eine Äquivalenzumformung, wenn der Term positiv ist
{"cards":[{"_id":"3bfb4f14f02cdea755000045","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":null,"content":"#Analysis"},{"_id":"3bfb5edcf02cdea75500004c","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":0.5,"parentId":"3bfb4f14f02cdea755000045","content":"## spezielle Funktionsklassen "},{"_id":"3bfb8178f02cdea755000056","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfb5edcf02cdea75500004c","content":"### Ganzrationale Funktionen"},{"_id":"3c11d0e33db7e8e154000057","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfb8178f02cdea755000056","content":"### **Polynome**"},{"_id":"3c11d17d3db7e8e154000058","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3c11d0e33db7e8e154000057","content":"### **Horner Schema**"},{"_id":"3bfb8247f02cdea755000057","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":2,"parentId":"3bfb5edcf02cdea75500004c","content":"### Gebrochenrationale Funktionen"},{"_id":"3c11d35a3db7e8e154000059","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfb8247f02cdea755000057","content":"### **Gebrochenrationale Funktionen**"},{"_id":"3c11d4233db7e8e15400005a","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3c11d35a3db7e8e154000059","content":"### **Nullstellen Berechnung/ Definitionslücken**"},{"_id":"3bfb856bf02cdea755000059","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":4,"parentId":"3bfb5edcf02cdea75500004c","content":"### Exponentialfunktionen\n### Logarithmusfunktionen"},{"_id":"3c07db4c81fb844070000036","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":0.25,"parentId":"3bfb856bf02cdea755000059","content":"### **Exponentialfunktion**\n\n![](http://snag.gy/MnYzE.jpg)\n\n> #### **Definition**\n![](http://snag.gy/NOdc3.jpg)\n> #### **Eigenschaften**\n![](http://snag.gy/wHDVd.jpg)\n\n> - Exponentialfunktionen besitzten weder Nullstellen, noch Extremwerte\n> - y-Achsenabschnitt bei (0/1), da f(0) = a^0 = 1\n> - Kurven von a^x und a^-x gehen durch `Spiegelung an der y-Achse` ineinander über\n> - Exponentialfunktion ≠ Potenzfunktion\n\n>> #### Spezielle Exponentialfunktionen\n>>![](http://snag.gy/P7LwK.jpg)\n\n> - #### ` Jede Exponentialfunktion ist in der e-Funktion darstellbar!`\n![](http://snag.gy/TbrVJ.jpg)\n\n---\n\n### **Anwendungsbezogene Exponentialfunktionen**\n\n1. Abklingfunktion\n2. Sättungsfunktion\n3. Wachstumsfunktion\n4. Gedämpfte Schwingung\n5. Gauß-Funktionen"},{"_id":"3c0881ee5e015c1086000090","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3c07db4c81fb844070000036","content":"### **Logarithmusfunktion**\n\n![](http://snag.gy/b79DY.jpg)\n\n> #### **Definition**\n![](http://snag.gy/ZzJpc.jpg)\n\n> #### **Eigenschaften**\n![](http://snag.gy/38bmd.jpg)\n\n> - Logarithmen sind nur für eine positive Basis a mit a≠1 definiert; Ihre Berechnung erfolgt mithilfe der Potenzreihenentwicklung\n> - Logarithmen besitzen `unabhängig` von der Basis a genau eine Nullstelle bei x_0 = 1, da log_a (1) = 0. `Alle` Kurven gehen somit an dieser Stelle durch die x-Achse\n> - Den Funktionsgraph einer Logarithmusfunktion erhält man durch Spiegelung der entsprechenden Exponentialfunktion an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten (45° Achse)\n\n>![](http://snag.gy/hxDVc.jpg)\n\n\n>> #### Spezielle Logarithmen\n![](http://snag.gy/Nicw0.jpg)"},{"_id":"3c0931d23fd8e289de000032","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1.5,"parentId":"3c0881ee5e015c1086000090","content":"### **Rechenregeln für Potenzen**\n![](http://snag.gy/vkBtf.jpg)"},{"_id":"3c0930a63fd8e289de000031","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":2,"parentId":"3c0881ee5e015c1086000090","content":"### **Rechenregeln für Logarithmen**\n\n![](http://snag.gy/o5suX.jpg)\n\n#### **Basiswechsel**\n![](http://snag.gy/9CG0n.jpg)"},{"_id":"3c10e2123db7e8e154000031","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":3,"parentId":"3c0881ee5e015c1086000090","content":"### **Eponential- und Logarithmusgleichungen**\n\n1. Exponentenvergleich\n2. Substitution/ Rücksubstitution\n3. Elementare Termumforumg \n4. Logarithmierung\n4. Entlogarithmierung: \ne-Funktion hebelt man mit ln(x); ln(x) mit der e-Funktion aus \n![](http://snag.gy/rOzEC.jpg)\n> 1. `e^x hat keine Nullstellen (wird also nie null) -> man kann immer durch e^x teilen`\n> 2. `Der Logarithmus ist nur dann eine Äquivalenzumformung, wenn der Term positiv ist`"},{"_id":"3c0a7e643fd8e289de000034","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":2,"parentId":"3bfb856bf02cdea755000059","content":"### **Natürliche Exponentialfunktion**\n\n> Die naturliche Exponentialfunktion, ist die einzige Funktion, die als Funktionswert ihre `Steigung` liefert\n\n![](http://snag.gy/tqjgA.jpg)\n\n![](http://snag.gy/2SWj4.jpg)\n\n![](http://snag.gy/yEoc3.jpg)"},{"_id":"3c0a802c3fd8e289de000036","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3c0a7e643fd8e289de000034","content":"### **Logarithmus naturalis**\n\n![](http://snag.gy/hxDVc.jpg)\n\n![](http://snag.gy/8ixe6.jpg)\n\n![](http://snag.gy/mutXG.jpg)"},{"_id":"3c7343d610e75b4ab000007d","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":3,"parentId":"3bfb856bf02cdea755000059","content":"### **Wachstums- und Zerfallsprozesse**\n![](http://snag.gy/UQWKL.jpg)\n> * p: Prozentsatz (in Dezimalzahl)\n> * 1+p: Wachstum / 1-p: Zerfall\n> * q = (1 +- p) = `Wachstumsfaktor`\n> * N(0): Anzahl zur Zeitpunkt Null; ursprüngliche Menge\n> * N(t): Anzahl zur Zeitpunkt t"},{"_id":"3bfb88a7f02cdea75500005a","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":5,"parentId":"3bfb5edcf02cdea75500004c","content":"### Trigonometrische Funktionen \n### Arkusfunktionen"},{"_id":"3c11ccb23db7e8e154000053","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfb88a7f02cdea75500005a","content":"### **Trigonometrische Funktionen**"},{"_id":"3c11cd163db7e8e154000054","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3c11ccb23db7e8e154000053","content":"### **Arkusfunktionen**"},{"_id":"3bfb8d23f02cdea75500005c","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":6,"parentId":"3bfb5edcf02cdea75500004c","content":"### Potenzfunktionen\n### Wurzelfunktionen"},{"_id":"3c11cefd3db7e8e154000055","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfb8d23f02cdea75500005c","content":"### **Potenzfunktionen**"},{"_id":"3c11cf4b3db7e8e154000056","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3c11cefd3db7e8e154000055","content":"### **Wurzelfunktionen**"},{"_id":"3c73243110e75b4ab0000035","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfb4f14f02cdea755000045","content":""},{"_id":"3bfbcdcbf02cdea755000065","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1.5,"parentId":"3bfb4f14f02cdea755000045","content":"## Hintergründe zur Differenzial- und Integralrechnung"},{"_id":"3c112cb13db7e8e15400004c","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfbcdcbf02cdea755000065","content":"### Stetigkeit und Differenzierbarkeit"},{"_id":"3c11d5fd3db7e8e15400005b","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3c112cb13db7e8e15400004c","content":"### **Das bestimmte Integral**"},{"_id":"3c11d6923db7e8e15400005c","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":2,"parentId":"3c112cb13db7e8e15400004c","content":"### **Uneigentliche Integrale**"},{"_id":"3c112db53db7e8e15400004d","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":2,"parentId":"3bfbcdcbf02cdea755000065","content":"### Newton Verfahren"},{"_id":"3bfbc98af02cdea755000062","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":3.75,"parentId":"3bfb4f14f02cdea755000045","content":"## Ableitungs- und Integrationsregeln"},{"_id":"3bfc8ca84391f3449e000028","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfbc98af02cdea755000062","content":"### **Ableitungen mit einem konstanten Faktor**\n\n$f(x) = a \\cdot g(x) \\rightarrow f'(x) = a \\cdot g'(x) $"},{"_id":"3c11194a3db7e8e154000049","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfc8ca84391f3449e000028","content":"### **Integral mit einem konstanten Faktor**\n$ \\int k \\cdot f(x) \\rightarrow k\\cdot \\int f(x)$"},{"_id":"3bfc88ea4391f3449e000024","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1.5,"parentId":"3bfbc98af02cdea755000062","content":"### **Ableitung von Summen/ Differenzen**\n$ f(x) = g(x) \\pm h(x) \\rightarrow f'(x) = g'(x) \\pm h'(x)$"},{"_id":"3f5fc9aacee496e19500003a","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfc88ea4391f3449e000024","content":"### **Integration von Summen/ 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= ln(g(x)) \\rightarrow f'(x) = \\frac{g'(x)}{g(x)}$\n> #### Ableitung der Sinus- und Cosinusfunktion\n![](http://snag.gy/JYgo1.jpg)"},{"_id":"3c1116e43db7e8e154000047","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfc89a54391f3449e000025","content":"### **Kettenregel für Stammfunktionen**\n![](http://snag.gy/U1N7a.jpg)\n> #### Integral der e-Funktion\n![](http://snag.gy/9bfJu.jpg)\n> #### Integral der ln-Funktion\n>>![](http://snag.gy/MrSgI.jpg)\n\n>> ![](http://snag.gy/FfeLc.jpg)\n\n> #### Integral der Sinus- und Cosinus Funktion\n![](http://snag.gy/eXdb5.jpg)\n>> `Gilt nur für lineare Funktionen`"},{"_id":"3bfc8a4a4391f3449e000026","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1.96875,"parentId":"3bfbc98af02cdea755000062","content":"### **Produktregel**\n$f(x) = g(x) \\cdot h(x) \\rightarrow f'(x) = g(x)h'(x) + g'(x)h(x)$"},{"_id":"3c1117b23db7e8e154000048","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfc8a4a4391f3449e000026","content":"### **Partielle Integration**\n(Produktregel für Stammfunktionen)\n\n![](http://snag.gy/YNGDZ.jpg)\n\n`Bei mehrmaliger Partieller Integration Klammern setzen`"},{"_id":"3bfc8b754391f3449e000027","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1.984375,"parentId":"3bfbc98af02cdea755000062","content":"### **Quotientenregel**\n\n$f(x) = \\frac{g(x)}{h(x)} \\rightarrow f'(x) = \\frac{g'(x)h(x) - h'(x)g(x)}{[h(x)]^2}$"},{"_id":"3c1125bf3db7e8e15400004b","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfc8b754391f3449e000027","content":"### **Integration durch Substitution**"},{"_id":"3bfbbf1ff02cdea755000060","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":5,"parentId":"3bfb4f14f02cdea755000045","content":"## Anwendung der Differential- und Integralrechnung"},{"_id":"3bfb5d5ef02cdea75500004a","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfbbf1ff02cdea755000060","content":"## Kurvendiskussion\n\n> ### **Definitionsmenge/ Wertemenge**\n\n> ### **Monotonieverhalten**\n\n> ### **Stetigkeit/ Unstetigkeit**\n\n> ### **Grenzverhalten (im Unendlichen)**\n\n\n> ### ** Symmetrie**\n\n>> * ### Achsensymmetrie zur y-Achse\n![ ](http://snag.gy/pQB6v.jpg)\n\n>> * ### Punktsymmetrie zum Ursprung\n![ ](http://snag.gy/Fcs9I.jpg)\n\n>>> ### Verschiebung von Funktionen\nSoll die Symmmetrie zu einer anderen Gerade als zur y-Achse, oder einem anderen Punkt als dem Ursprung gezeigt werden, verschiebt man die Funktion zurück auf die x-Achse/ Ursprung\n\n>>> ![](http://snag.gy/oc5CF.jpg)\n\n>### **Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen**\n\n>### **Lokale und globale Extrema**\n\n>### **Krümmungsverhalten**\n>> Berechnung der Wendepunkte; Wendetangente"},{"_id":"3c1141fa3db7e8e15400004e","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfb5d5ef02cdea75500004a","content":"## Flächen und Volumina\n\n### **Flächen**\nBerechnung erfolgt mithilfe des bestimmten Integrals\n + `Die Funktion darf in diesem Intervall keine Nullstellen besitzen`\n + `Negative Flächen beachten!`\n![](http://snag.gy/bwxKK.jpg)\n\n> #### **Fläche zwischen zwei Funktionen**\n`Schnittpunkte beachten`\n![](http://snag.gy/4DagF.jpg)\n\n> ###"},{"_id":"3c1144563db7e8e154000050","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":2,"parentId":"3bfbbf1ff02cdea755000060","content":"## Rekonstruktionen"},{"_id":"3c1144df3db7e8e154000051","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3c1144563db7e8e154000050","content":"## Extremwertaufgaben"},{"_id":"3bfb5837f02cdea755000046","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":2,"parentId":null,"content":"#Analytische Geometrie & Lineare Algebra"},{"_id":"3bfb5900f02cdea755000047","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":3,"parentId":null,"content":"#Stochastik"},{"_id":"3c983411f7587f262f000037","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3bfb5900f02cdea755000047","content":"# Kombinatorik\n`Sind die Elemente \"angeordnet\"?`\n`Dürfen einzelne Elemente wiederholt werden?`\n\n![](http://snag.gy/ae1Zh.jpg)\n\n>n = Anzahl der Elemente die Angeordnet werden\n>k = Anzahl der Durchgänge (\"Ziehungen\")\n>p = Anzahl der unterschiedlichen Elemente"},{"_id":"3c983a21f7587f262f000039","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":1,"parentId":"3c983411f7587f262f000037","content":"## **k-Variation** `bei Anordnungen`\n\n>+ mit Wiederholung\n![](http://snag.gy/afjJX.jpg) \n>+ ohne Wiederholung\n ![](http://snag.gy/N1mas.jpg)"},{"_id":"3c983e19f7587f262f00003a","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":2,"parentId":"3c983411f7587f262f000037","content":"## **n-Permutation** `bei Anordnungen`\n\n> + mit Wiederholung & `n > p`\n ![](http://snag.gy/gj6oB.jpg)\n> + ohne Wiederholung & `n = k`\n ![](http://snag.gy/CkTmZ.jpg)"},{"_id":"3c983e94f7587f262f00003b","treeId":"3bfb4ef4f02cdea755000043","seq":1,"position":3,"parentId":"3c983411f7587f262f000037","content":"## **k-Kombination** `bei Mengen`\n\n+ mit Wiederholung \n ![](http://snag.gy/S5zdN.jpg)\n\n+ ohne Wiederholung & `0 ≤ k ≤ n`\n ![](http://snag.gy/HGlei.jpg)"}],"tree":{"_id":"3bfb4ef4f02cdea755000043","name":"Mathematik","publicUrl":"mathematik","latex":true}}