#Analysis

spezielle Funktionsklassen

Ganzrationale Funktionen

Polynome

Horner Schema

Gebrochenrationale Funktionen

Gebrochenrationale Funktionen

Nullstellen Berechnung/ Definitionslücken

Exponentialfunktionen

Logarithmusfunktionen

Exponentialfunktion

Definition

Eigenschaften

  • Exponentialfunktionen besitzten weder Nullstellen, noch Extremwerte
  • y-Achsenabschnitt bei (0/1), da f(0) = a^0 = 1
  • Kurven von a^x und a^-x gehen durch Spiegelung an der y-Achse ineinander über
  • Exponentialfunktion ≠ Potenzfunktion

Spezielle Exponentialfunktionen

  • Jede Exponentialfunktion ist in der e-Funktion darstellbar!


Anwendungsbezogene Exponentialfunktionen

  1. Abklingfunktion
  2. Sättungsfunktion
  3. Wachstumsfunktion
  4. Gedämpfte Schwingung
  5. Gauß-Funktionen

Logarithmusfunktion

Definition

Eigenschaften

  • Logarithmen sind nur für eine positive Basis a mit a≠1 definiert; Ihre Berechnung erfolgt mithilfe der Potenzreihenentwicklung
  • Logarithmen besitzen unabhängig von der Basis a genau eine Nullstelle bei x_0 = 1, da log_a (1) = 0. Alle Kurven gehen somit an dieser Stelle durch die x-Achse
  • Den Funktionsgraph einer Logarithmusfunktion erhält man durch Spiegelung der entsprechenden Exponentialfunktion an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten (45° Achse)

Spezielle Logarithmen

Rechenregeln für Potenzen

Rechenregeln für Logarithmen

Basiswechsel

Eponential- und Logarithmusgleichungen

  1. Exponentenvergleich
  2. Substitution/ Rücksubstitution
  3. Elementare Termumforumg
  4. Logarithmierung
  5. Entlogarithmierung:
    e-Funktion hebelt man mit ln(x); ln(x) mit der e-Funktion aus
    1. e^x hat keine Nullstellen (wird also nie null) -> man kann immer durch e^x teilen
    2. Der Logarithmus ist nur dann eine Äquivalenzumformung, wenn der Term positiv ist

Natürliche Exponentialfunktion

Die naturliche Exponentialfunktion, ist die einzige Funktion, die als Funktionswert ihre Steigung liefert

Logarithmus naturalis

Wachstums- und Zerfallsprozesse

  • p: Prozentsatz (in Dezimalzahl)
  • 1+p: Wachstum / 1-p: Zerfall
  • q = (1 +- p) = Wachstumsfaktor
  • N(0): Anzahl zur Zeitpunkt Null; ursprüngliche Menge
  • N(t): Anzahl zur Zeitpunkt t

Trigonometrische Funktionen

Arkusfunktionen

Trigonometrische Funktionen

Arkusfunktionen

Potenzfunktionen

Wurzelfunktionen

Potenzfunktionen

Wurzelfunktionen

Hintergründe zur Differenzial- und Integralrechnung

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Das bestimmte Integral

Uneigentliche Integrale

Newton Verfahren

Ableitungs- und Integrationsregeln

Ableitungen mit einem konstanten Faktor

$f(x) = a \cdot g(x) \rightarrow f'(x) = a \cdot g'(x) $

Integral mit einem konstanten Faktor

$ \int k \cdot f(x) \rightarrow k\cdot \int f(x)$

Ableitung von Summen/ Differenzen

$ f(x) = g(x) \pm h(x) \rightarrow f'(x) = g'(x) \pm h'(x)$

Integration von Summen/ Differenzen

Potenzregel für Ableitungen

$f(x) a \cdot x^n \rightarrow f'(x) a\cdot n \cdot x^{n-1} $

Potenzregel für Stammfunktionen

Kettenregel für Ableitungen

$f(x) = g(h(x)) \rightarrow f'(x) = h'(x) \cdot g'(h(x)) $

Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion

$f(x) = a^x (a>0) \rightarrow f'(x) = ln(a) \cdot a^x$

Ableitung der e-Funktion

$ f(x) = e^{g(x)} \rightarrow f'(x) = g'(x) \cdot e^x$

Ableitung der ln-Funktion

$ f(x) = ln(g(x)) \rightarrow f'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$

Ableitung der Sinus- und Cosinusfunktion

Kettenregel für Stammfunktionen

Integral der e-Funktion

Integral der ln-Funktion

Integral der Sinus- und Cosinus Funktion

Gilt nur für lineare Funktionen

Produktregel

$f(x) = g(x) \cdot h(x) \rightarrow f'(x) = g(x)h'(x) + g'(x)h(x)$

Partielle Integration

(Produktregel für Stammfunktionen)

Bei mehrmaliger Partieller Integration Klammern setzen

Quotientenregel

$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \rightarrow f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - h'(x)g(x)}{[h(x)]^2}$

Integration durch Substitution

Anwendung der Differential- und Integralrechnung

Kurvendiskussion

Definitionsmenge/ Wertemenge

Monotonieverhalten

Stetigkeit/ Unstetigkeit

Grenzverhalten (im Unendlichen)

Symmetrie

  • Achsensymmetrie zur y-Achse

  • Punktsymmetrie zum Ursprung

Verschiebung von Funktionen

Soll die Symmmetrie zu einer anderen Gerade als zur y-Achse, oder einem anderen Punkt als dem Ursprung gezeigt werden, verschiebt man die Funktion zurück auf die x-Achse/ Ursprung

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Lokale und globale Extrema

Krümmungsverhalten

Berechnung der Wendepunkte; Wendetangente

Flächen und Volumina

Flächen

Berechnung erfolgt mithilfe des bestimmten Integrals

Fläche zwischen zwei Funktionen

Schnittpunkte beachten

#

Rekonstruktionen

Extremwertaufgaben

#Analytische Geometrie & Lineare Algebra

#Stochastik

Kombinatorik

Sind die Elemente "angeordnet"?
Dürfen einzelne Elemente wiederholt werden?

n = Anzahl der Elemente die Angeordnet werden
k = Anzahl der Durchgänge (“Ziehungen”)
p = Anzahl der unterschiedlichen Elemente

k-Variation bei Anordnungen

  • mit Wiederholung
  • ohne Wiederholung

n-Permutation bei Anordnungen

  • mit Wiederholung & n > p
  • ohne Wiederholung & n = k

k-Kombination bei Mengen